축구칼럼 Elo 랭킹 시스템의 연산법에 대해(데이터주의)

피파랭킹 산정 시스템이 이번달부터 바뀐다는 건 다들 아는 사실일텐데

그 바뀐다는 방식에 Elo 시스템이 도입된다는 것도 다들 아는 사실일 겁니다.

오늘 제가 들고 온 것은 Elo 레이팅에 대한 것입니다.

사실 이 연산법은 헝가리 출신의 미국 국적을 가진 아르파드 엘뢰 교수가 체스 랭킹 산정을 위해 고안한 방식입니다.

엘뢰 박사의 이름을 딴 방식이기 때문에 이엘오 시스템이니 뭐니 그렇게 부르는데

사실 사람 이름이기 때문에 엘뢰 레이팅 이라고 부르는 것이 맞습니다.

사실 우린 이 시스템이 익숙합니다.

이미 점수로 랭킹을 정하는 게임들(ex. 롤, 오버워치, 스타 등)의 점수 산정은 엘뢰 레이팅으로 이루어지고 있습니다.

작동 원리는 쉽습니다.

일단 기본적으로 모두 1500점을 가지고 시작을 하는데

단순하게는 자신보다 점수가 높은 사람을 이기면 점수를 많이 획득하게 되고

자신보다 점수가 낮은 사람을 이기면 점수를 적게 획득하는 겁니다.

공식은 다음과 같습니다.

이겁니다만, 이건 좀 뭔가 알수가 없으니 집어치우도록 하겠습니다.

뭔가 영어로 되어 있으니 수학에 울렁증 있는 분들을 위해 뒤로가기 누르지 마시고 설명을 할겁니다

다 쉽게 풀어드릴겁니다

그대로 한글로 풀어 써 드리겠습니다.

P는 확정될 랭킹 포인트, P_old는 경기전에 그 팀이 가지고 있던 본래 포인트, I는 게임의 가중치, 즉 중요도를 말합니다.

W는 최종적으로 나온 경기 결과, W_e는 경기 예상 결과를 말하는데, 이것도 따로 공식이 있는데 그건 따로 설명할겁니다.

랭킹 포인트 = 이전 포인트 + 경기 중요도 × (경기 결과 - 경기 예상 결과)

여기서 덧붙여, 이전 포인트는 경기 치르기 전 그 국가가 가지고 있던 원래 포인트입니다.

여기에 해당 경기 결과가 어떻게 되느냐에 따라 발생한 랭킹 포인트를 더하거나, 혹은 빼서 결정합니다.

여기서, 경기 예상 결과라는 항목이 있는데 엘뢰 시스템에서는 이걸 미리 계산하는 것이 특징입니다.

이것도 공식이 있습니다. 도망가지 마요 쉽게 풀어드릴게요 ㅠ

이게 경기 예상 결과의 공식입니다. 다시 쉽게 설명하겠습니다

경기 예상 결과 = 1 /(10 × (-포인트 차이 / 600) + 1)
 

뭔 ㅅㅂ 수식이 난무해 ㅅㅂ 이라고 보일 수 있는데, 이건 앞서 설명했던

자신보다 점수가 높은 사람을 이기면 점수를 많이 획득하게 되고

자신보다 점수가 낮은 사람을 이기면 점수를 적게 획득하는 것

을 수식으로 그대로 옮겨놓은 것일  뿐 입니다.

기존에 가지고 있는 포인트의 차이에 따라 점수 시스템이 반영이 됩니다.

아직 수치를 모르는 게 하나 더 있습니다. 경기 가중치, 경기의 중요도인데요

이건 다행히도 표가 있습니다.

친선전일수록 수치가 작고, 월드컵이나 대륙간 컵대회일수록 수치가 커집니다.

그런데, 이거 직접 한번 계산은 해봐야겠죠?

그렇다면 이번 월드컵 최종전이었던 한국 대 독일의 경기를 가지고 계산을 직접 해보겠습니다.

한국과 독일이 각각 경기 전에 가지고 있던 포인트는 다음과 같습니다

한국: 1677점

독일: 2044점

공식대로라면 우린 P를 구해야 됩니다. 어차피, 엘뢰 레이팅은 점수의 합은 모두가 똑같아집니다.

즉, 어느 한쪽의 증가 혹은 감소치를 구하면 다른 한쪽 또한 자동으로 계산이 된다는 뜻입니다.

일단, 한국을 가지고 계산을 해보도록 하겠습니다.

P=1677 + 60(2/10^{{-(1677-2044)/600}}+1)

이걸 계산하면 됩니다.

왜 이렇게 수치가 나오느냐?

1677=한국이 가진 본 Elo 점수

60=경기 가중치(월드컵 본선무대)

2=골득실 차이

2044, 1677=독일과 한국의 Elo 포인트

각각 이렇습니다.

하라면 할수 있는데 솔직히 계산하기 귀찮잖아요

저 60(2×10^{{-(1677-2004)/600}}+1)= 80 입니다.

그러니까 우리나라는 독일과의 경기에서 elo 포인트를 80점이나 벌어왔습니다.

독일전이 끝난 후 우리나라의 Elo포인트는 1757점이 되었습니다.

이렇게 계산하기 귀찮다면 대충 양 팀간의 승률 차이도 미리 계산한게 있습니다.

승률 표는 다음과 같습니다.

모 유저가 이걸 참 잘 정리해놔서 가져와봤습니다. 승률표는 정규분포를 따릅니다.

그래도 난 보기 거지같다 싶으면 이걸 연산해놓은 수치는 다음과 같습니다.

각 포인트 차이별 대입하면 되는 수치

0        0.500        0.500
10       0.514        0.486
20       0.529        0.471
30       0.543        0.457
40       0.557        0.443
50       0.571        0.429
60       0.585        0.415
70       0.599        0.401
80       0.613        0.387
90       0.627        0.373
100      0.640        0.360
150      0.703        0.297
200      0.760        0.240
250      0.808        0.192
300      0.849        0.151
350      0.882        0.118
400      0.909        0.091
450      0.930        0.070
500      0.947        0.053
550      0.960        0.040
600      0.969        0.031
650      0.977        0.023
700      0.983        0.017
750      0.987        0.013
800      0.990        0.010

각각 해당하는 확률에 맞춰 수치를 넣으면 됩니다. 참 쉽죠

세줄 요약을 추가해보겠습니다.

1. 엘뢰 시스템은 그나마 현재 나온 레이팅 시스템 중에서는 합리적이라고 말할 수 있다.

2. 모든 시스템이 그렇지만 이 시스템은 장단점이 존재한다. 다음번엔 이 엘뢰 시스템의 단점에 대해 다뤄볼 생각이다.

3. 사실 이상한 문자들이 난무해서 그렇지 생각보다 쉬운 수식들이다. 어렵지 않다. 정말이다. 믿어줘요 제발 ㅠ

아 난 그래도 너무 어렵다 힘들다 짜증난다 이렇게 계산하기 빡친다 편하게 볼수 있는곳을 알려달라

라 하신다면 링크도 드리겠습니다.

https://www.eloratings.net/

여기서 엘뢰 레이팅 시스템으로 나오는 각 국가별 랭킹이 대회가 지나고 빠르게 업데이트됩니다.

재미로 이거 하나 보고 가시는 것도 좋겠네요

엘뢰 시스템으로 1950년대부터 산정한 클럽별 랭킹입니다.

엘뢰 시스템으로 1950년대부터 산정한 국가대표팀별 랭킹입니다.

긴 글 읽어주셔서 감사하고 수학 나온다고 도망가지 마세요

어때요 참 쉽죠?